niktoinikak (niktoinikak) wrote,
niktoinikak
niktoinikak

Простая задача.

Внутри круга с центром в точке О выбраны 2 точки А и В. Доказать, что можно провести окружность проходящую через А и В, полностью заключённую в круге.
Решение в книге просто и изящно.

[Spoiler (click to open)]Пусть ОА >= ОВ Нарисуем окружность радиуса ОА с центром в О, и стянем её к A так, чтобы новая окружность проходила через В.
Я до этого не додумался, но придумал 2 д-ва менее изящные но более концептуальные :-)
1.[Spoiler (click to open)] Проведём прямую АВ, пересекающуюся с исходным кругом в точках С и Д. Порядок такой: С А В Д.
Проведём через A и B окружность радиуса, так относящегося к исходному, как АB к СД. Рассмотрим любую точку на новой окружности - К. Проведём через С и Д прямые параллельные соответственно АК и ВК Они пересекутся в некоторой точке L, находящейся на исходной окружности. Но ясно, что угол АКВ внутри угла СLД, т е точка К - внутри исходной окружности.

2. [Spoiler (click to open)]Не уменьшая общности, можно считать отрезок АВ горизонтальным. Все окружности, проходящие через АВ имеют центр на прямой, проходящей через середину АВ и перпендикулярной ему и разделяются АВ на дугу выше его и ниже его. Если центр очень высоко, то нижняя дуга внутри исходной окружности(она почти совпадает с АВ), а верхняя пересекает её в 2-х точках.
Опуская центр, в некоторый момент верхняя дуга коснётся исходной окружности, а нижняя бyдет на некотором конечном от неё расстоянии. Т е если ещё немного опустим, верхняя станет внутри исходного круга, а нижняя тоже ещё останется внутри.
Tags: Математика
Subscribe
promo niktoinikak декабрь 8, 2016 21:29 1
Buy for 10 tokens
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments