November 11th, 2018

Хорошая задача

на круглом 12-местном столе разложены карточки с именами приглашённых. Гости пришли и сели, не обратив внимания на карточки. Докажите, что можно повернуть стол так, чтобы не менее 2-х гостей оказались на своих местах.
И замечательное, имхо, решение.
Предварительные замечания.
1. Все числа рассматриваем по модулю 12.
Это значит, что числа различающиеся на число, кратное 12, считаем одинаковыми. Т е например
-3 = 9, 0 = 12 = 60
2. Гостей обозначим числами 0, 1, 2, ... 11 Карточки с номерами считаем последовательно размещёнными по кругу по часовой стрeлке- 0, 1, 2, ...11
Место(обозначенное карточкой) на которое сел i-ый гость обозначим А(i)
Решение.
[Spoiler (click to open)]предположим, что утверждение задачи неверно - есть такое расположение А, что нельзя повернуть стол так, чтобы 2 человека оказались на своих местах.
Это означает, что для всех i числа А(i)-i различны( в самом деле, это число показывает, насколько надо повернуть стол по часовой стрелке, что бы i-ый гость оказался на месте изначально для него предназначенным). Эта разность очевидно может принимать значения от нуля до 11. Т к всего гостей 12 - все значения встречаются по одному разу.
Теперь рассмотрим сумму
(А(0) - 0) + (А(1) - 1) + (А(2) - 2) + ... + (А(11) -11)
В силу предыдущего замечания она равна
0 + 1 + 2 + ... + 11 = 66 = 6(напоминаню, мы рассматриваем числа по модулю 12)

Но, с другой стороны, она д б равна нулю т k числа А(i) - те же числа 0, 1, 2, ... , 11 - но в другом порядке.
Т е наше исходное предложение неверно - не все числа A(i) - i различны, среди них есть совпадающие.

Это решение имхо замечательно и неожиданно. Когда я пришёл к нему, я не мог поверить, что тут нет ошибки. Долго проверял, потом посмотрел в книжку - там решение видимо такое же(я кинул беглый взгляд).

Я искал решение основанное на другой идее. Именно, раз есть все разности, кто-то сидит на своём месте. И это должно как-то сузить возможности для других. Я по прежнему почти уверен, что такое решение должно существовать - но мне его найти не удалось. А хотелось бы - я не люблю чудеса, а изложенное выше решение - чудо. Мне по крайней мере совершенно непонятно, как так получилось :-)
promo niktoinikak december 8, 2016 21:29 1
Buy for 10 tokens

НЕПРИВЫЧКА К СОЗЕРЦАНИЮ

Не умел созерцать. Все умел: и глядеть,
и заглядывать,
видеть, даже предвидеть, глазами мерцать,
всматриваться, осматриваться,
взором охватывать
горизонт,
Все умел.
Не умел созерцать.

Не хватало спокойствия, сосредоточенности.
Не хватало умения сжаться и замереть.
Не хватало какой-то особой отточенности,
заостренности способа
видеть, глядеть и емотреть.

И у тихого моря с его синевой миротворною,
и у бурного моря с его стоэтажной волной
остальная действительность
с дотошностью вздорною
не бросала меня,
оставалась со мной.

А леса, и поля, и картины импрессионистов,
и снега, застилавшие их своей белой тоской,
позабыть не заставили,
как, обречен и неистов,
вал морской
разбивался о берег морской.

Я давал себе срок, обрекая на повиновение
непоспешному времени,
но не хватало меня.
Я давал себе век, но выдерживал только мгновение.
Я давал себе год,
не выдерживал даже и дня.

И в итоге итогов
мне даже понравилась
населявшая с древности эти места
суета,
что со мною боролась и справилась,
одолевшая, победившая меня суета.