Копия старого поста с добавлением. Простая задача.
https://niktoinikak.livejournal.com/137006.html
Копия:
Внутри круга с центром в точке О выбраны 2 точки А и В. Доказать, что можно провести окружность проходящую через А и В, полностью заключённую в круге.
Решение в книге просто и изящно.
[Spoiler (click to open)]Пусть ОА >= ОВ Нарисуем окружность радиуса ОА с центром в О, и стянем её к A так, чтобы новая окружность проходила через В.
Я до этого не додумался, но придумал 2 д-ва менее изящные но более концептуальные :-)
1.[Spoiler (click to open)] Проведём прямую АВ, пересекающуюся с исходным кругом в точках С и Д. Порядок такой: С А В Д.
Проведём через A и B окружность радиуса, так относящегося к исходному, как АB к СД. Рассмотрим любую точку на новой окружности - К. Проведём через С и Д прямые параллельные соответственно АК и ВК Они пересекутся в некоторой точке L, находящейся на исходной окружности. Но ясно, что угол АКВ внутри угла СLД, т е точка К - внутри исходной окружности.
2. [Spoiler (click to open)]Не уменьшая общности, можно считать отрезок АВ горизонтальным. Все окружности, проходящие через АВ имеют центр на прямой, проходящей через середину АВ и перпендикулярной ему и разделяются АВ на дугу выше его и ниже его. Если центр очень высоко, то нижняя дуга внутри исходной окружности(она почти совпадает с АВ), а верхняя пересекает её в 2-х точках.
Опуская центр, в некоторый момент верхняя дуга коснётся исходной окружности, а нижняя бyдет на некотором конечном от неё расстоянии. Т е если ещё немного опустим, верхняя станет внутри исходного круга, а нижняя тоже ещё останется внутри.
Добавление.
Сейчас я подумал снова и придумал "правильное" решение. Правильное в том смысле, что оно прямо исходит из условия и не требует никаких догадок. Хотя по изяществу уступает книжному :-)
[Spoiler (click to open)]Рассмотрим треугольник ОАВ. Все центры окружностей, проходящих через Аи В лежат на перпендикуляре к отрезку АВ, проходящем через его середину. Он пересекает одну из сторон ОА или ОВ - пусть ОВ. Обозначим точку пересечения С. Точку пересечения ОВ с окружностью в непаравлении ОВ - D. Понятно, что СD - кратчайшее расстояние от С до окружности, т е окружность с центром в С и радиусом СВ целиком лежит в исходном круге, что и требовалось.
Почему я тогда не нашёл это решение - как видим, крайне простое? Потому что я упорно искал решение по духу близкое к книжному - именно, искал стягивание исходной окружности, чтобы она проходила через А и В. Думаю, найти это можно и несложно, но мне не удалось :-(
Копия:
Внутри круга с центром в точке О выбраны 2 точки А и В. Доказать, что можно провести окружность проходящую через А и В, полностью заключённую в круге.
Решение в книге просто и изящно.
[Spoiler (click to open)]Пусть ОА >= ОВ Нарисуем окружность радиуса ОА с центром в О, и стянем её к A так, чтобы новая окружность проходила через В.
Я до этого не додумался, но придумал 2 д-ва менее изящные но более концептуальные :-)
1.[Spoiler (click to open)] Проведём прямую АВ, пересекающуюся с исходным кругом в точках С и Д. Порядок такой: С А В Д.
Проведём через A и B окружность радиуса, так относящегося к исходному, как АB к СД. Рассмотрим любую точку на новой окружности - К. Проведём через С и Д прямые параллельные соответственно АК и ВК Они пересекутся в некоторой точке L, находящейся на исходной окружности. Но ясно, что угол АКВ внутри угла СLД, т е точка К - внутри исходной окружности.
2. [Spoiler (click to open)]Не уменьшая общности, можно считать отрезок АВ горизонтальным. Все окружности, проходящие через АВ имеют центр на прямой, проходящей через середину АВ и перпендикулярной ему и разделяются АВ на дугу выше его и ниже его. Если центр очень высоко, то нижняя дуга внутри исходной окружности(она почти совпадает с АВ), а верхняя пересекает её в 2-х точках.
Опуская центр, в некоторый момент верхняя дуга коснётся исходной окружности, а нижняя бyдет на некотором конечном от неё расстоянии. Т е если ещё немного опустим, верхняя станет внутри исходного круга, а нижняя тоже ещё останется внутри.
Добавление.
Сейчас я подумал снова и придумал "правильное" решение. Правильное в том смысле, что оно прямо исходит из условия и не требует никаких догадок. Хотя по изяществу уступает книжному :-)
[Spoiler (click to open)]Рассмотрим треугольник ОАВ. Все центры окружностей, проходящих через Аи В лежат на перпендикуляре к отрезку АВ, проходящем через его середину. Он пересекает одну из сторон ОА или ОВ - пусть ОВ. Обозначим точку пересечения С. Точку пересечения ОВ с окружностью в непаравлении ОВ - D. Понятно, что СD - кратчайшее расстояние от С до окружности, т е окружность с центром в С и радиусом СВ целиком лежит в исходном круге, что и требовалось.
Почему я тогда не нашёл это решение - как видим, крайне простое? Потому что я упорно искал решение по духу близкое к книжному - именно, искал стягивание исходной окружности, чтобы она проходила через А и В. Думаю, найти это можно и несложно, но мне не удалось :-(